12. 셀에서 팩으로

학습 목표

단일 셀 수치를 NsMp 팩으로 합성한다: 셀 하나의 정격에서 팩의 전압, 용량, 에너지, 저항을 예측한다.
직렬 스트링이 가장 낮은 용량의 셀에서, 병렬 그룹이 가장 낮은 저항의 셀에서 왜 고장 나는지 설명하고, 실제 고장을 올바른 통계로 나눈다.
팩을 결합된 셀 모델들의 전기-열 네트워크로 읽고, 온도가 셀들 사이에 양의 되먹임 고리를 어떻게 닫는지 본다.

요약

팩은 큰 셀이 아니라 개체군처럼 행동합니다: 직렬 스트링은 용량 산포로, 병렬 그룹은 저항 산포로 고장 납니다.
NsMp 사다리가 셀을 합성합니다: 전압은 $N$ 에, 용량은 $M$ 에, 저항은 $N/M$ 에, 에너지는 총 개수 $NM$ 에 비례합니다.
온도가 셀들 사이에 양의 되먹임 고리를 닫으니, 팩은 결국 결합된 셀 모델들의 전기-열 네트워크입니다.
연료전지 스택도 같은 최약체 이야기, 매 밀리초 집행되고, 굶주린 셀은 수 초 안에 역전됩니다.

6장에서 11장까지의 모든 것은 한 개의 셀 이야기였습니다. 실제 제품은 수십~수천 개를 싣고, 연결하는 순간 새 물리 층이 나타납니다: 팩은 큰 셀이 아니라 개체군처럼 행동합니다.

직렬과 병렬, 각각이 벌하는 것

그림 · NsMp 팩(여기 4s2p). 직렬은 전압을 곱하고(N×), 병렬은 용량을 곱한다(M×). 팩 저항은 (N/M)·R_cell, 에너지는 두 곱의 곱 N·M·V·Q. 가장 약한 셀이 직렬 스트링을 제한한다.Gemini로 생성한 그림

직렬 스트링은 전압을 더하고 전류 하나를 공유합니다. 스트링의 용량은 가장 약한 셀이 정합니다. 더 나쁜 건, 그 셀이 나머지에게 끌려간다는 것입니다: 전압 한계에 먼저 도달해, BMS가 개입하지 않으면 과방전·과충전됩니다. 직렬은 용량 산포를 벌합니다.
병렬 그룹은 전류를 더하고 전압 하나를 공유합니다. 정상 상태에선 자가 균형하지만, 저항·온도 불일치는 전류 분담을 비틉니다. 가장 강한 셀이 가장 많이 일하고, 가장 뜨겁고, 가장 빨리 늙습니다. 병렬은 저항 산포를 벌합니다.

그림 · 가장 약한 셀이 스트링을 제한한다. 직렬 스트링은 한 전류를 공유하므로, 가장 용량이 작은 셀이 먼저 비거나 차서 스트링 전체의 가용 용량을 그 셀 수준으로 끌어내린다(점선). 게다가 그 셀은 나머지에 끌려 과충전·과방전에 노출되므로, BMS의 셀 밸런싱이 이 문제를 관리한다.Gemini로 생성한 그림

직렬은 용량이, 병렬은 저항이 한계유도 보기

이 유도가 딛는 것

먼저 두 연결이 셀 수치를 어떻게 합성하는지 고정하고, 그다음 각 위상이 어느 통계로 고장 나는지 읽어냅니다.

보조정리NsMp 스케일링: 팩 저항 사다리보조정리 보기

이 유도가 딛는 것

셀 $N$ 개를 직렬로 이어 스트링을 만들고, 그런 스트링 $M$ 개를 병렬로 잇습니다. 직렬 폐회로에 대한 키르히호프 전압 법칙이 셀 전압들을 더하므로, 스트링은 $N\,V_\mathrm{cell}$ 에 앉고, 그 단자를 공유하는 팩도

$V_\mathrm{pack} = N\,V_\mathrm{cell}$

를 유지합니다. 전하 보존이 팩 전류를 동일한 $M$ 개 스트링에 고르게 나누므로, 직렬 개수가 각 스트링의 전하를 그대로 둔 채 용량들이 더해집니다:

$Q_\mathrm{pack} = M\,Q_\mathrm{cell}$

저항은, 옴의 법칙이 각 스트링 안의 직렬 저항 $N$ 개를 더하고( $N R_\mathrm{cell}$ ), 병렬 $M$ 개 스트링이 그것을 $M$ 으로 나눕니다:

$R_\mathrm{pack} = \frac{N}{M}\,R_\mathrm{cell}$

저장 에너지는 곱 $E_\mathrm{pack}=V_\mathrm{pack}Q_\mathrm{pack}=NM\,V_\mathrm{cell}Q_\mathrm{cell}$ , 오직 총 셀 개수 $NM$ 에만 비례합니다. 모든 팩 사양서가 이 사다리 위에 세워집니다. ∎

이제 고장 통계입니다. 직렬 스트링은 하나의 폐회로라, 키르히호프 전류 법칙이 모든 셀에 같은 전류 $I(t)$ 를 강제합니다. 그래서 각 셀은 동일한 전하 $Q=\int_0^t I\,dt'$ 를 통과시키고, 용량 $Q_k$ 인 셀은 이 적분이 $Q_k$ 에 닿는 순간 컷오프에 도달합니다. 스트링은 가장 먼저 도달하는 셀에서 멈춰야 합니다:

$Q_\mathrm{string} = \min_k Q_k$

가장 약한 셀이 전체를 정하고, 더 강한 셀마다 $Q_k-\min_j Q_j>0$ 의 전하가 묶여 버립니다. 게다가 비어 버린 셀에 전류를 계속 흘리면, 그 셀은 자기 의 가파른 무릎을 지나 컷오프 아래로 끌려갑니다. 이웃들이 그 셀을 과방전(over-discharge)시키는 셈입니다.

병렬 그룹은 대신 하나의 단자 전압 $V$ 를 공유합니다. OCV $U$ 가 거의 같다면 각 셀은 $V=U-I_iR_i$ 를 따르므로, 전류는 내부 저항에 반비례로 나뉩니다:

$I_i = \frac{U-V}{R_i}\ \propto\ \frac{1}{R_i}$

저항이 가장 낮은 셀이 가장 큰 몫을 가져가고 열도 가장 많이 냅니다: $\dot q_i = I_i^2R_i=(U-V)^2/R_i$ . 그 셀이 데워지면 저항이 더 내려가 몫은 더 커집니다. 팩 냉각이 끊어야 할 양의 되먹임 고리입니다. 결국 두 위상은 서로 다른 통계로 고장 납니다: 직렬은 가장 낮은 용량, 병렬은 가장 낮은 저항. ∎

뿌리 사슬직렬에서 KCL이 하나의

I(t)

강제

Q_\mathrm{string}=\min_k Q_k

병렬은

V

I_i=(U-V)/R_i

I_i\propto 1/R_i

실제 팩은 둘 다(xSyP)이므로 두 벌을 다 물려받고, 그 사이 결합까지 얹습니다.

실전 예제· 3.7 V, 5 Ah 셀로 만든 96s2p 팩

공칭 3.7 V, 5 Ah, 25 mΩ인 셀로 96개를 직렬, 그런 스트링 2개를 병렬로 잇습니다. 팩의 전압, 용량, 에너지, 저항은 얼마일까요? NsMp 사다리를 항마다 적용합니다.

양	값
셀 공칭 전압 $V_\mathrm{cell}$	3.7 V
셀 용량 $Q_\mathrm{cell}$	5 Ah
셀 저항 $R_\mathrm{cell}$	25 mΩ
직렬 개수 $N$	96
병렬 개수 $M$	2
팩 전압 $N\,V_\mathrm{cell}$	$96\times3.7 = 355.2~\mathrm{V}$
팩 용량 $M\,Q_\mathrm{cell}$	$2\times5 = 10~\mathrm{Ah}$
팩 에너지 $NM\,V_\mathrm{cell}Q_\mathrm{cell}$	$355.2\times10 \approx 3.55~\mathrm{kWh}$
팩 저항 $\tfrac{N}{M}R_\mathrm{cell}$	$\tfrac{96}{2}\times25 = 1200~\mathrm{m\Omega} = 1.2~\Omega$

전압은 직렬 개수에, 용량은 병렬 개수에, 에너지는 그 곱에 실리므로, 같은 3.55 kWh를 96s2p, 48s4p, 192s1p로 아주 다른 팩 전압에서 얻을 수 있습니다. 부하에서 이들을 가르는 것은 저항 사다리, 여기서는 $1.2~\Omega$ 뿐입니다.

열이 되먹임 시스템으로 만든다

셀 저항은 온도가 오르면 내려갑니다; 병렬 그룹의 따뜻한 셀은 그래서 전류를 더 받고, 그만큼 더 데워집니다. 팩 전체로는 냉각 기하가 어느 셀이 이 되먹임 경로에 앉을지 정합니다: 가운데 셀은 덥고 가장자리는 차갑고, 그 산포는 수명에 걸쳐 자랍니다. 뜨거운 셀이 빨리 늙고, 노화가 저항을 키우니까요. 팩 시뮬레이션이 바로 이 전기-열 네트워크입니다: 노드마다 등가 셀 모델(9. 단순화 모델 (SPM / SPMe) ), 간선은 전기 버스와 열 경로 .

셀 하나를 돌리고, 사다리로 키우기

NMC811/Gr 21700 프리셋을 1C, 25 °C로 방전하고, 전달 용량과 단자전압을 읽어 보세요.

그 단일 셀 수치가 NsMp 사다리가 키우는 $V_\mathrm{cell}$ 과 $Q_\mathrm{cell}$ 입니다: 이 셀의 96s2p 팩은 $96\,V_\mathrm{cell}$ 과 $2\,Q_\mathrm{cell}$ 을 유지합니다.
다만 깔끔한 한 번의 실행은 개체군의 평균만 줍니다. 팩의 진짜 한계는 그 둘레의 산포가 정하며, 셀 하나로는 그 산포를 보일 수 없습니다.

스튜디오 열기 · 설정 자동 입력

직접 돌려보기(네트워크): Battery Pack 도구가 Battery 1D에서 구성한 셀로 이 네트워크를 만듭니다. 도구 사용법과 사례 연구(모듈 핫스팟, 죽은 셀과 그 이웃)는 팩 가이드 참조.

연료전지 스택의 같은 이야기

스택은 매 밀리초 집행되는 직렬 스트링입니다: 모든 셀이 같은 전류를 나르므로, 기체가 굶주린 셀 하나가 수 초 안에 전압 역전으로 몰립니다. 탄소 부식이 뒤따릅니다. 스택의 셀 전압 모니터링이 팩에서 BMS가 하는 역할을 합니다 (열 기울기 쪽 절반은 17. 열 관리가 다룹니다).

연습문제

4s1p 스트링을 용량 4.8, 5.0, 5.0, 5.2 Ah인 셀들로 만듭니다. 스트링이 방전하는 가용 용량은 얼마이고, 컷오프에서 5.2 Ah 셀에 묶여 남는 전하는 얼마일까요?

풀이 보기

직렬 스트링은 전류 하나를 통과시키므로 $Q_\mathrm{string}=\min_k Q_k = 4.8~\mathrm{Ah}$ , 가장 약한 셀이 정합니다. 더 강한 셀마다 $Q_k-\min_j Q_j$ 가 묶입니다: 5.2 Ah 셀은 $5.2-4.8 = 0.4~\mathrm{Ah}$ 의 전하를 쓰지 못한 채 컷오프에 도달합니다. 스트링은 가장 약한 구성원만큼만 좋고, 강한 셀의 잉여는 죽은 무게입니다. 그래서 직렬로 넣기 전에 셀을 등급 매칭합니다.

OCV가 같은 두 셀을 내부 저항 $R_1 = 20~\mathrm{m\Omega}$ , $R_2 = 30~\mathrm{m\Omega}$ 로 병렬 연결해 총 10 A를 흘립니다. 각 셀의 전류와 발생 열의 비를 구하세요. 어느 셀이 더 일할까요?

풀이 보기

두 셀은 전압 $V$ 하나를 공유하므로 $I_1R_1 = I_2R_2 = U-V$ , 즉 $I_i\propto 1/R_i$ 입니다. 분담은 $I_1:I_2 = 1/20 : 1/30 = 3:2$ 이므로 $I_1 = 6~\mathrm{A}$ , $I_2 = 4~\mathrm{A}$ 입니다. 열은 $\dot q_i = I_i^2R_i$ 이니 $\dot q_1 = 36\times0.02 = 0.72~\mathrm{W}$ , $\dot q_2 = 16\times0.03 = 0.48~\mathrm{W}$ , 비는 $1.5$ 입니다. 저항이 낮은 셀이 더 큰 전류를 받고 열을 가장 많이 냅니다. 팩 냉각이 끊어야 할 양의 되먹임 씨앗입니다.

이 장이 다루지 못하는 것

BMS 알고리즘(밸런싱 전략, 개체군 SOC 추정), 기계적 팩 설계(충돌, 팽창 하중), 열폭주 전파. 마지막 주제는 플랫폼의 Thermal Runaway 스튜디오가 예정된 집입니다.

참고문헌

[1] S. G. Marquis, V. Sulzer, R. Timms, C. P. Please, S. J. Chapman (2019). An Asymptotic Derivation of a Single Particle Model with Electrolyte J. Electrochem. Soc. 166, A3693. doi:10.1149/2.0341915jes ↗

[2] J. Newman, K. E. Thomas-Alyea (2004). Electrochemical Systems, 3rd ed. Wiley. 원문 링크 ↗

함께 보기

10. 열 모델 · 9. 단순화 모델 (SPM / SPMe) · 팩 가이드 · Plett, Battery Management Systems vol. II.