P2D 지배방정식

학습 목표

네 개의 결합장을 적어내고 각 지배방정식이 강제하는 보존 법칙을 짚으며, 이들을 잇는 단일 반응 전류 $j$ 를 확인합니다.
Fick 법칙에서 구형 고상 확산 방정식을 유도하고, 전해질 전하 수지가 시간 PDE가 아니라 대수(미분-대수) 제약인 이유를 보입니다.
패널 값에서 고상 확산 시간 $\tau = r_s^2/D_s$ 과 Bruggeman 유효 전달 계수를 어림하고, 주어진 실행에서 어떤 물리가 율속인지 읽어냅니다.

요약

P2D는 네 개의 결합장(고상·전해질의 농도와 전위)을 추적하며, 이들은 하나의 계면 반응 전류 $j$ 로 묶입니다.
모든 지배방정식은 보존 법칙입니다: 구형 입자 내 Fick 법칙(고상), 다공 물질수지(전해질), 각 상의 전하 보존.
두 전하 방정식은 시간 미분이 없어 P2D는 미분-대수 시스템이 되고, Butler-Volmer가 네 장을 잇는 유일한 결합항입니다.

P2D(pseudo-two-dimensional) 모델(Doyle-Fuller-Newman(DFN) 모델이라고도 합니다) 은 스튜디오에서 P2D를 고르면 푸는 물리입니다 . 이 페이지는 직관에서 출발해 전체 방정식 집합까지 쌓아 올린 뒤, 각 기호가 스튜디오의 어느 컨트롤에 대응하는지 보여줍니다.

먼저 그림으로

셀은 샌드위치입니다: 음극 | 분리막 | 양극, 그 사이를 액체 전해질이 채웁니다. 방전 시 리튬은 음극 입자에서 빠져나와 전해질을 Li⁺로 통과해 양극 입자로 삽입됩니다. 이 속도를 제한하는 요인은 두 가지이고, 모델은 둘 다 추적합니다:

셀을 가로질러 ( $x$ 방향): Li⁺가 전해질 속을 확산·이동하며 농도·전위 구배를 형성합니다.
입자 내부 (반경 $r$ 방향): 리튬이 고상 활물질 안팎으로 확산해야 합니다.

"Pseudo-2D"란 $x$ 에 대한 1-D 문제를 풀면서 동시에 각 $x$ 위치마다 대표 입자 내부의 $r$ 방향 1-D 확산 문제를 푼다는 뜻입니다. 둘은 입자 표면에서 일어나는 반응으로 연결됩니다.

스튜디오 셀 단면 그림 — Cu | 음극 | 분리막 | 양극 | Al. 셀 가로 방향이 x, 각 입자 내부 반경 방향이 r (대표 형상).

네 개의 미지수 (unknowns)

미지수	의미
$c_s(x,r,t)$	고상 입자 내부의 리튬 농도
$c_e(x,t)$	전해질의 Li 염 농도
$\phi_s(x,t)$	고상 전위
$\phi_e(x,t)$	전해질 전위

이들은 하나의 계면 변수로 묶입니다: 반응 전류밀도 $j(x,t)$ , 각 지점에서 리튬이 입자 표면을 얼마나 빨리 건너는가.

지배방정식

1 · 고상 확산 (구형 입자 내 Fick 법칙, 각 $x$ 마다 대표 입자 하나):

\frac{\partial c_s}{\partial t} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left( D_s\, r^2\, \frac{\partial c_s}{\partial r}\right)

중심 대칭, 표면 플럭스는 반응 전류로 결정:

\left.\frac{\partial c_s}{\partial r}\right|_{r=0}=0, \qquad -\,D_s\left.\frac{\partial c_s}{\partial r}\right|_{r=R_p} = \frac{j}{F}

2 · 전해질 물질수지 (다공 전극 내 농축용액론):

\varepsilon_e\,\frac{\partial c_e}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left( D_e^{\mathrm{eff}}\,\frac{\partial c_e}{\partial x}\right) + \frac{1-t_+^0}{F}\,a_s\,j

3 · 고상 전하 보존 (Ohm 법칙; 반응이 전류를 전해질로 흘려보냄):

\frac{\partial}{\partial x}\!\left( \sigma^{\mathrm{eff}}\,\frac{\partial \phi_s}{\partial x}\right) = a_s\,j

4 · 전해질 전하 보존 (ohmic + 농도 구배에 의한 확산 전위):

\frac{\partial}{\partial x}\!\left( \kappa^{\mathrm{eff}}\,\frac{\partial \phi_e}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial x}\!\left( \kappa_D^{\mathrm{eff}}\,\frac{\partial \ln c_e}{\partial x}\right) + a_s\,j = 0

\kappa_D^{\mathrm{eff}} = \frac{2RT\,\kappa^{\mathrm{eff}}}{F}\,(t_+^0-1)\left(1+\frac{d\ln f_\pm}{d\ln c_e}\right)

5 · 반응 동역학 (Butler-Volmer):

j = j_0\left[\exp\left(\frac{\alpha_a F}{RT}\eta\right) - \exp\left(-\frac{\alpha_c F}{RT}\eta\right)\right]

j_0 = F\,k\,c_e^{\alpha_a}\,(c_{s,\max}-c_{s,e})^{\alpha_a}\,c_{s,e}^{\alpha_c}, \qquad \eta = \phi_s - \phi_e - U_{eq}(\theta)

여기서 $c_{s,e}$ 는 입자 표면 농도, $\theta = c_{s,e}/c_{s,\max}$ 는 그 표면 stoichiometry입니다.

방정식은 어디서 오는가

다섯 식은 공리가 아닙니다. 각각은 한 상(phase)에 적용한 보존 법칙이고, 상 사이를 건너는 것은 반응 전류 $j$ 뿐입니다 . 임의처럼 오해하기 쉬운 둘은 구형 고상 확산과 시간이 없는 전해질 전하 수지인데, 둘 다 표준 장부 정리에서 그대로 떨어집니다.

고상 확산은 구형 입자 속 Fick 제2법칙유도 보기

이 유도가 딛는 것

활물질 입자 내부에는 반응이 없습니다. 리튬은 확산만 하므로 물질 보존이 곧 Fick 제2법칙입니다. 플럭스 $\mathbf{N} = -D_s\nabla c_s$ (Fick 제1법칙)와 소스가 없는 연속식에서 출발합니다:

$\frac{\partial c_s}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{N} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial c_s}{\partial t} = \nabla\cdot\!\left(D_s\,\nabla c_s\right)$

잘 합성된 입자는 방향에 무관한 등방성을 가정하므로 $c_s$ 는 각도가 아니라 반경 $r$ 에만 의존합니다. 구면 좌표에서 발산의 각도 성분은 사라지고 반경 연산자만 남습니다:

$\nabla\cdot\!\left(D_s\,\nabla c_s\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(D_s\, r^2\, \frac{\partial c_s}{\partial r}\right)$

두 경계조건이 계를 닫습니다. 중심에서는 대칭성이 순 플럭스를 금지하므로( $r=0$ 을 지나는 소스가 없는 한) 기울기가 0입니다. 표면에서는 리튬이 고상을 드나드는 유일한 통로가 계면 반응이고, 그 몰 유량 밀도가 $j/F$ 입니다:

$\left.\frac{\partial c_s}{\partial r}\right|_{r=0}=0, \qquad -D_s\left.\frac{\partial c_s}{\partial r}\right|_{r=R_p}=\frac{j}{F}$

그래서 입자 방정식에는 $x$ 가 없습니다. 전극의 모든 위치가 각자의 반경 방향 확산 문제를 가지며, 셀의 나머지와는 오직 표면 플럭스 $j$ 로만 결합됩니다. 이것이 pseudo-2D의 "pseudo"가 가리키는 바입니다. ∎

뿌리 사슬Fick 제1법칙

\mathbf{N}=-D_s\nabla c_s

소스 없는 연속식

\partial_t c_s = \nabla\cdot(D_s\nabla c_s)

구형 등방성

\partial_t c_s = \tfrac{1}{r^2}\partial_r(D_s r^2\partial_r c_s)

전해질 전하 보존은 시간 PDE가 아니라 대수식유도 보기

이 유도가 딛는 것

두 농도장과 달리 전하 수지에는 $\partial/\partial t$ 가 없습니다. 이유는 전기중성입니다. 전해질의 Debye 차폐 길이는 나노미터 수준으로 기공보다 훨씬 얇아서, 양·음 전하 밀도가 서로 따라다니고 순 전하 밀도 $\rho$ 는 사실상 어디서나 0입니다. $\rho$ 가 0에서 벗어나지 않으면 그 시간 미분도 사라집니다:

$\frac{\partial \rho}{\partial t}\approx 0$

그러면 기공 내 전하 연속식은 이온 전류 $\mathbf{i}_e$ 의 발산이 오직 반응(고상이 단위 부피당 넘겨주는 전류 $a_s j$ )으로만 채워지고, 전하를 저장하는 축적 항이 없다고 말합니다:

$\nabla\cdot\mathbf{i}_e = a_s\,j$

여기에 농축용액 전류식 $\mathbf{i}_e = -\kappa^{\mathrm{eff}}\nabla\phi_e - \kappa_D^{\mathrm{eff}}\nabla\ln c_e$ 를 대입하면 P2D 식 4가 됩니다. 이 관계는 $\phi_e$ 를 매 순간 즉시, 과거의 기억 없이 고정하므로, 시간을 전진시키는 두 확산 방정식 옆에 놓인 대수 제약입니다. 이렇게 시간 미분 방정식과 대수 제약이 섞인 계가 곧 시스템이며, 이것이 P2D 모델의 본질적 수학 성격입니다(Newman & Thomas-Alyea; Doyle, Fuller & Newman, 1993). ∎

뿌리 사슬전기중성

\rho\approx 0

\partial_t\rho\approx 0

\nabla\cdot\mathbf{i}_e = a_s j

전류식 대입

\phi_e

에 대한 대수 제약

의사-2차원 결합: 다섯 방정식이 j를 공유하는 이유

다섯 식은 미지수 $j(x,t)$ 하나를 공유합니다. 각 $x$ 위치에서:

식 1이 입자를 전진시키고, 표면 $c_{s,e}(x)$ 가 즉시 $U_{eq}(\theta)$ 와 $j_0$ 를 결정합니다.
국소 $\phi_s$ , $\phi_e$ , $c_e$ 와 함께 과전압 $\eta$ 를 만들고 Butler-Volmer(식 5)로 $j$ 를 계산합니다.
이렇게 계산된 $j$ 는 다시 식 1의 표면 플럭스이자 식 2-4의 체적 소스/싱크가 됩니다.

$r$ 문제와 $x$ 문제가 동시에 풀려야 하는 이유이며, 이것이 "pseudo-2D"의 본질입니다. 단순 분할 연산자 방식은 보통 불안정하거나 부정확합니다.

Butler-Volmer: 네 장을 잇는 유일한 항유도 보기

이 유도가 딛는 것

네 장은 무엇도 잇지 않으면 서로 독립일 것입니다. 가 그 연결입니다. 국소 과전압으로부터 반응 전류를 정합니다:

$j = j_0\left[\exp\!\left(\frac{\alpha_a F}{RT}\eta\right) - \exp\!\left(-\frac{\alpha_c F}{RT}\eta\right)\right], \qquad \eta = \phi_s - \phi_e - U_{eq}(\theta)$

두 정의를 읽으면 모든 장이 등장합니다. 과전압 $\eta$ 는 $\phi_s$ 와 $\phi_e$ 를 직접 담고, $U_{eq}(\theta)$ 는 $\theta = c_{s,e}/c_{s,\max}$ 를 통해 고상 표면 농도를 끌어옵니다. 전지수 $j_0 = Fk\,c_e^{\alpha_a}(c_{s,\max}-c_{s,e})^{\alpha_a}c_{s,e}^{\alpha_c}$ 는 전해질 농도 $c_e$ 와 같은 표면 농도를 한 번 더 더합니다:

$j = j\big(\phi_s,\ \phi_e,\ c_e,\ c_{s,e}\big)$

이제 반대 방향으로 봅니다. 그 같은 $j$ 가 식 1의 표면 플럭스이자 식 2·3·4의 체적 소스 $a_s j$ (또는 $\tfrac{1-t_+^0}{F}a_s j$ )입니다. 모든 장이 $j$ 를 먹이고, $j$ 가 모든 장의 수지를 먹입니다. 공간의 각 점에서 닫힌 양방향 고리입니다. 그래서 이 집합은 함께 풀어야 합니다. 한 장을 건드리면 반응 속도가 바뀌어 네 장 전부로 번집니다. 두 지수 자체의 동역학 유도는 반응 동역학: Butler-Volmer에 있고, 여기서는 $j$ 가 경첩이라는 것으로 충분합니다. ∎

뿌리 사슬

\eta = \phi_s - \phi_e - U_{eq}(\theta)

j = j(\phi_s,\phi_e,c_e,c_{s,e})

j

가 모든 장의 수지를 먹임닫힌 양방향 고리

농축용액론 (식 4에 $\kappa_D$ 항이 등장하는 이유)

전해질 전류는 단순 Ohm 법칙이 아닙니다. 이원 전해질에서 농도 구배가 있으면 확산 전위 항이 추가됩니다:

i_e = -\kappa^{\mathrm{eff}}\nabla\phi_e + \frac{2\kappa^{\mathrm{eff}}RT}{F}(1-t_+^0)\left(1+\frac{d\ln f_\pm}{d\ln c_e}\right)\nabla\ln c_e

두 번째 항이 바로 $-\kappa_D^{\mathrm{eff}}\nabla\ln c_e$ , 즉 P2D 식 4의 $\kappa_D^{\mathrm{eff}}$ 입니다(계수 2와 부호에 유의: $\kappa_D^{\mathrm{eff}} = \frac{2RT\kappa^{\mathrm{eff}}}{F}(t_+^0-1)(\dots)$ 는 $t_+^0<1$ 이면 그 자체로 음수이므로 $-\kappa_D^{\mathrm{eff}}$ 는 양수입니다). 농도 구배만으로도 이온 전류가 흐를 수 있음을 의미합니다 . 열역학 인자 $(1 + d\ln f_\pm / d\ln c_e)$ 는 보통 1보다 크고, 용해도 한계 근처나 평탄 구간에서는 매우 커질 수 있습니다. 이것이 측정된 전도도·확산계수가 문헌마다 크게 흩어지는 주요 원인 중 하나입니다.

Butler-Volmer 전체와 선형화

비선형 형태:

j = j_0\left[\exp\left(\frac{\alpha_a F}{RT}\eta\right) - \exp\left(-\frac{\alpha_c F}{RT}\eta\right)\right]

$j_0$ 에 표면 농도가 들어가기 때문에 지수 감도가 매우 강합니다.

평형 근처에서 Butler-Volmer 선형화 → R_ct유도 보기

이 유도가 딛는 것

소신호 프로브(EIS)는 과전압을 아주 작게 유지하므로, 두 지수를 $\exp(\pm x)\approx 1\pm x$ ( $x=\alpha F\eta/RT \ll 1$ )로 1차까지 전개합니다:

$j \approx j_0\left[\left(1+\frac{\alpha_a F}{RT}\eta\right)-\left(1-\frac{\alpha_c F}{RT}\eta\right)\right] = j_0\,\frac{(\alpha_a+\alpha_c)F}{RT}\,\eta$

이제 반응은 선형입니다. 전류가 과전압에 비례합니다. 그 비례를 $\eta = R_{ct}\,j$ 의 저항으로 읽으면

$R_{ct} = \frac{RT}{j_0\,(\alpha_a+\alpha_c)F}$

전하이동 저항은 $j_0$ 에 반비례합니다. 느린 반응(작은 $j_0$ )일수록 Nyquist 플롯의 고주파 반원이 커집니다. 이 선형화는 상온에서 $\eta \lesssim RT/F \approx 26\ \mathrm{mV}$ 동안만 성립합니다. 그 이상 밀어붙이면 한 지수가 지배하여 응답이 지수적(Tafel 영역)이 되고, 단일 $R_{ct}$ 로는 더 이상 기술되지 않습니다. ∎

뿌리 사슬

\eta\ll RT/F

e^x \approx 1+x

j \approx j_0\tfrac{(\alpha_a+\alpha_c)F}{RT}\eta

R_{ct} = RT/j_0(\alpha_a+\alpha_c)F

Butler–Volmer 과전압 특성 (실시간). 슬라이더로 j₀·α·T를 바꾸면 비선형 곡선(j)과 선형화 근사(jLin = η/R_ct)가 즉시 갱신됩니다.

R_ct ≈ 0.0257 Ω·m² · j(50 mV) ≈ 2.268 A/m²

j₀ (A/m²)1.00α_a (anodic)0.50α_c (cathodic)0.50T (°C)25

비선형 BV (실선)와 저과전압 선형 근사 (점선). α_a ≈ α_c = 0.5, T 낮을수록 R_ct ↑, j₀ ↑일수록 곡선이 가팔라집니다. 스튜디오 anode/cathode kinetics 패널의 k_0 값과 비교해 보세요.

경계조건과 계면 연속성

집전체: 모든 전류는 고상으로 흐름 (전해질 전류 = 0, $\partial c_e/\partial x = 0$ ).
분리막: $a_s = 0$ (고상 없음, 반응 없음). 오직 전해질 전달식만 활성.
전극/분리막 경계: $c_e$ , $\phi_e$ 연속. 고상 전류는 분리막 쪽에서 0.
전체 전류 보존: 임의의 순간에 고상 전자 전류 + 전해질 이온 전류의 합 = 인가 전류 $I(t)$ .

이 조건들은 solver의 유한체적(또는 유한요소) 이산화에서 자동으로 강제됩니다.

유효 물성과 미세구조

다공 전극 전달은 tortuosity와 단면적 감소로 느려집니다:

D_e^{\mathrm{eff}} = \varepsilon_e^{p} D_e, \qquad \kappa^{\mathrm{eff}} = \varepsilon_e^{p} \kappa, \qquad \sigma^{\mathrm{eff}} = \varepsilon_s^{p} \sigma

a_s = \frac{3\varepsilon_s}{R_p}

지수 $p \approx 1.5$ (스튜디오 기본값). 미세구조 패널의 brug를 바꾸면 세 유효 전달 계수가 한꺼번에 스케일링되며, 이는 고율 특성에 가장 강력한 레버 중 하나입니다.

실전 예제· NMC811 양극의 고상 확산 시간과 Bruggeman 전도도

전형적인 NMC811 양극 입자와 다공 전극을 잡고, 고상 확산 시계와 solver가 식 4에서 실제로 쓰는 Bruggeman 보정 이온 전도도를 함께 읽어냅니다.

양	값
$R_p$ (입자 반경)	$5~\mu\mathrm{m} = 5\times10^{-6}~\mathrm{m}$
$D_s$ (고상 확산계수)	$1\times10^{-14}~\mathrm{m^2/s}$
$\tau_s = R_p^2/D_s$	$(5\times10^{-6})^2 / 10^{-14} = 2500~\mathrm{s} \approx 42~\mathrm{min}$
$\varepsilon_e$ (전해질 부피 분율)	$0.30$
$\kappa$ (벌크 이온 전도도)	$1.0~\mathrm{S/m}$
$p$ (Bruggeman 지수)	$1.5$
$\kappa^{\mathrm{eff}} = \varepsilon_e^{p}\,\kappa$	$0.30^{1.5}\times 1.0 = 0.164~\mathrm{S/m}$

고상 시계 $\tau_s = 2500~\mathrm{s}$ 는 1C 방전(3600 s)과 비슷하고 5C 방전(720 s)보다 훨씬 깁니다. 그래서 고율에서는 입자 표면 화학량론 $\theta$ 가 중심보다 앞서 달리고, 이것이 스튜디오의 표면-vs-벌크 패널이 보여주는 확산 한계입니다. Bruggeman 세금은 이온 전도도를 벌크의 약 16 %로 깎습니다. 기공이 좁고 구불거리므로 식 4의 전해질 옴 강하를 정하는 것은 $\kappa$ 가 아니라 $\kappa^{\mathrm{eff}}$ 입니다.

물리 현상을 지배하는 무차원 수

파라미터 패널에서 추정할 수 있는 유용한 무차원 수:

입자 Fourier 수: Fo_s = D_s t / R_p² (입자 내부 확산 진행 정도)
전해질 Fourier 수: Fo_e = D_e^eff t / L²
반응 대 ohmic (Wagner 유사): Wa ≈ (κ^eff R T) / (j_0 L F). Wa가 작으면 반응이 이온 전달보다 빠름 → 반응 영역이 분리막 쪽으로 이동
고상/전해질 전도 비율: σ^eff / κ^eff

공간 프로파일(P2D 전용)을 보면 j(x)의 위치가 바로 이 경쟁의 결과입니다.

스튜디오에서 각 기호가 사는 곳 (완전 대응표)

기호	스튜디오 컨트롤 (비고)
$D_s$ , $D_s(T)$	음극/양극 → 고상 전달 (`d_solid`, Arrhenius `d_solid_Ea`)
$R_p$	`r_s` (동시에 $a_s$ 결정)
$\sigma_s$	`sigma_solid` (전자 전도)
$k_0$ , $\alpha_a$ , $\alpha_c$ , $E_a$	반응 동역학 패널 (Butler-Volmer 계수와 대칭성)
$c_{s,\max}$	`cs_max` (OCV의 θ 기준점)
$\varepsilon_s$ , $\varepsilon_e$ , $p$ (Bruggeman)	미세구조 + 공극률 균형 (SOC & stoichiometry 참조)
$\kappa(c,T)$ , $D_e(c,T)$ , $t_+^0$ , 열역학 인자	전해질 패널 (실시간 계수 플롯 제공)
$U_{eq}(\theta)$	선택된 소재의 OCV 곡선 (SOC & stoichiometry 참조)
$I(t)$ 또는 C-rate	운전 조건 + 1 C 자동 산출

연습문제

워크드 예제의 고상 시계 $\tau_s = R_p^2/D_s = 2500~\mathrm{s}$ 를 써서, 1C 방전이 끝나는 시점( $t = 3600~\mathrm{s}$ )의 입자 Fourier 수 $\mathrm{Fo}_s = D_s t / R_p^2$ 를 구하고, $\mathrm{Fo}_s \gtrsim 1$ 이 표면-vs-벌크 간극에 대해 무엇을 뜻하는지 말하라.

풀이 보기

$\mathrm{Fo}_s = D_s t / R_p^2 = t/\tau_s$ 이므로 $t = 3600~\mathrm{s}$ 에서

$\mathrm{Fo}_s = \frac{3600}{2500} = 1.44$

$\mathrm{Fo}_s > 1$ 은 확산이 입자를 한 번 건너는 시간 이상을 썼다는 뜻이므로, 반경 방향 프로파일이 거의 평형에 이릅니다. 표면 화학량론 $\theta$ 가 중심에 가깝게 머물고 표면-vs-벌크 간극이 작습니다. 5C( $t = 720~\mathrm{s}$ , $\mathrm{Fo}_s = 0.29$ )에서는 시계가 추월당해 간극이 벌어지고, 이것이 스튜디오 패널이 보여주는 고상 확산 한계입니다.

두 전하 수지(식 3과 4)에는 $\partial/\partial t$ 가 없습니다. 전기중성에서 출발해 왜 이것이 P2D를 미분-대수 시스템으로 만드는지, 그리고 이중층 충전 항을 되살리면 무엇이 바뀌는지 설명하라.

풀이 보기

전기중성이 순 전하 밀도를 $\rho\approx 0$ 으로 붙들므로 $\partial\rho/\partial t\approx 0$ 이고, 전하 연속식은 축적 항 없이 $\nabla\cdot\mathbf{i}_e = a_s j$ 로 줄어듭니다. 이 식은 $\phi_e$ 를 매 순간 즉시, 과거의 기억 없이 고정하므로, $c_s$ 와 $c_e$ 의 시간 전진 확산 PDE 옆에 놓인 대수 제약입니다. 미분 방정식과 대수 방정식이 섞이면 시스템입니다. 이중층 충전을 되살리면 계면 수지에 용량 항 $C_{dl}\,\partial(\phi_s-\phi_e)/\partial t$ 가 더해져 전하 방정식에 시간 미분이 돌아오고, 대수 제약은 아주 짧은 이중층 시간 상수가 지배하는 뻣뻣한 ODE로 바뀝니다.

참고문헌

[1] M. Doyle, T. F. Fuller, J. Newman (1993). Modeling of Galvanostatic Charge and Discharge of the Lithium/Polymer/Insertion Cell J. Electrochem. Soc. 140, 1526. doi:10.1149/1.2221597 ↗

[2] T. F. Fuller, M. Doyle, J. Newman (1994). Simulation and Optimization of the Dual Lithium Ion Insertion Cell J. Electrochem. Soc. 141, 1. doi:10.1149/1.2054684 ↗

[3] J. Newman, K. E. Thomas-Alyea (2004). Electrochemical Systems, 3rd ed. Wiley. 원문 링크 ↗

SPMe는 식 1·2·5를 유지하되 각 전극을 단일 평균 입자로 축소하고, 완전한 $x$ 방향 전해질 해석을 단순화 모델 (SPM / SPMe)에 설명된 축소 보정으로 대체합니다. 그래서 빠르고, 전압 오차가 정확히 전극 내부 구배(식 3·4에서 버려진 항)가 1차가 되는 순간(고율·저온·두꺼운 전극·저전도 전해질)에서 커지는 이유입니다. P2D 실행에서 공간 프로파일을 캡처하면 SPMe가 결코 보지 못한 구배를 직접 확인할 수 있습니다.

다음: Thermal & cooling이 전기화학 코어 위에 에너지 수지(가역열 + 비가역열, 냉각, Arrhenius)를 추가합니다.

P2D 지배방정식

먼저 그림으로

네 개의 미지수 (unknowns)

지배방정식

방정식은 어디서 오는가

의사-2차원 결합: 다섯 방정식이 j를 공유하는 이유

농축용액론 (식 4에 κD\kappa_DκD​ 항이 등장하는 이유)

Butler-Volmer 전체와 선형화

경계조건과 계면 연속성

유효 물성과 미세구조

물리 현상을 지배하는 무차원 수

스튜디오에서 각 기호가 사는 곳 (완전 대응표)

연습문제

참고문헌

농축용액론 (식 4에 $\kappa_D$ 항이 등장하는 이유)