YSZ 전해질을 지나는 전하 운반체는 산화물이온 O²⁻이고, 공기극(양극)에서 연료극(음극)으로 이동합니다. PEMFC의 양성자와 반대 방향입니다. 반쪽 반응을 따라가 봅시다. 공기극에서 산소가 전자를 받아 격자 속으로 산화물이온이 되어 들어갑니다:

$\tfrac{1}{2}\mathrm{O_2} + 2e^- \rightarrow \mathrm{O^{2-}}$

이 이온들은 세라믹을 통해 연료극으로 전도되고, 거기 삼상 경계에서 연료를 만나 전자를 내놓습니다:

$\mathrm{H_2} + \mathrm{O^{2-}} \rightarrow \mathrm{H_2O} + 2e^-$

합은 여느 수소 셀과 같은 $\mathrm{H_2} + \tfrac{1}{2}\mathrm{O_2} \rightarrow \mathrm{H_2O}$이지만, 물은 이동하는 이온이 도착하는 곳에 나타납니다. PEMFC에서는 양성자가 공기극에 도착하니 거기서 물이 생기고, SOFC에서는 산화물이온이 연료극에 도착하니 연료 쪽에서 물이 생깁니다. 그 도착하는 산화물이온 덕에 SOFC는 CO를 직접 산화할 수 있지만 ($\mathrm{CO} + \mathrm{O^{2-}} \rightarrow \mathrm{CO_2} + 2e^-$), PEMFC에서는 CO가 백금을 피독시킬 뿐입니다. ∎

전도도는 운반체 밀도 곱하기 전하 곱하기 이동도, $\sigma = nq\mu$입니다. 뜀 수송에서 이동도는 Nernst-Einstein 관계 $\mu = qD/k_BT$를 따르고, 뜀 자체가 열 활성화라서(장벽 $E_a$를 넘을 만큼 에너지 있는 시도의 비율이 Boltzmann 인자이므로) 확산계수는

$D = D_0\,\exp\!\left(-\frac{E_a}{RT}\right)$

이동도와 확산계수를 $\sigma = nq\mu$에 다시 넣으면:

$\sigma = nq\cdot\frac{qD}{k_BT} = \frac{nq^2 D_0}{k_B T}\exp\!\left(-\frac{E_a}{RT}\right) = \frac{\sigma_0}{T}\exp\!\left(-\frac{E_a}{RT}\right)$

여기서 $\sigma_0 \equiv nq^2 D_0/k_B$입니다. $1/T$ 앞자리는 Nernst-Einstein 뜀의 지문이고, 온도를 끌어올리는 것은 지수항입니다. ∎

전체 반응은 여느 수소 셀과 같은 $\mathrm{H_2} + \tfrac12\mathrm{O_2} \rightarrow \mathrm{H_2O}$이고 $n = 2$이므로, 2장의 Nernst 식이 그대로 적용됩니다:

$E = E^0 - \frac{RT}{2F}\ln Q$

1단계: 활동도는 분압이다. 이상기체의 활동도는 표준 압력에 대한 분압, $a_i = p_i/p^\circ$입니다($p^\circ = 1~\mathrm{atm}$이므로 수치는 그냥 atm 단위 분압). 반응 지수는 생성물을 반응물로 나누고 각각 화학양론 계수로 거듭제곱한 것이므로

$Q = \frac{a_\mathrm{H_2O}}{a_\mathrm{H_2}\,a_\mathrm{O_2}^{1/2}} = \frac{p_\mathrm{H_2O}}{p_\mathrm{H_2}\,p_\mathrm{O_2}^{1/2}}$

2단계: 부호를 뒤집어 실용 형태로. 대입하고 $-\ln Q = +\ln(1/Q)$을 쓰면:

$E = E^0 + \frac{RT}{2F}\ln\frac{p_\mathrm{H_2}\,p_\mathrm{O_2}^{1/2}}{p_\mathrm{H_2O}}$

진한 연료와 넉넉한 공기($p_\mathrm{H_2}$, $p_\mathrm{O_2}$가 큼)는 로그 안을 1 위로 밀어 전압을 더해 주고, 쌓인 생성수($p_\mathrm{H_2O}$가 큼)는 1 아래로 밀어 전압을 도로 가져갑니다. 가역 전압이 연료 입구에서 출구로 갈수록 단조롭게 처지는 이유입니다.

3단계: 온도가 $E^0$에 하는 일. 기준값은 $E^0 = -\Delta G^\circ(T)/2F$이고, $\Delta G^\circ = \Delta H^\circ - T\Delta S^\circ$입니다. 반응이 1.5몰의 기체를 소모해 1몰을 만드니 $\Delta S^\circ < 0$이고, $-T\Delta S^\circ$가 $T$와 함께 커져 $\Delta G^\circ$를 덜 음수로, $E^0$을 낮춥니다:

$\frac{\partial E^0}{\partial T} = \frac{\Delta S^\circ}{2F} < 0$

공짜 물리. 그래서 열은 열역학 천장에서 SOFC 전압을 깎지만(25에서 800 °C까지 약 $-0.2$ V, 아래에서 계산), 그 거래는 여전히 남는 장사입니다: 열이 제거하는 활성화 손실은 $-E_a/RT$의 지수 함수이고, 800 °C 근처에서 그 붕괴는 엔트로피 항이 가져간 $0.2$ V보다 훨씬 많이 되사 옵니다 [1]. 고온은 열역학에는 지는 베팅이고 동역학에는 이기는 베팅이며, 동역학이 더 큰 차이로 이깁니다. ∎