드리프트-확산 계

학습 목표

이 스튜디오가 푸는 것은 반도체 소자 물리의 표준 모형인 van Roosbroeck 방정식계입니다. 1차원, 정상상태, 등온입니다.

미지수 세 개

소자 두께 방향 좌표를 $x$ 라 할 때, 모든 위치에서 다음 세 값을 구합니다.

세 개가 서로 강하게 얽혀 있습니다. 전위가 캐리어를 밀고, 캐리어가 전하로서 다시 전위를 만듭니다. 그래서 순차적으로 못 풀고 연립해서 풀어야 합니다.

\frac{\partial}{\partial x}\left(\varepsilon \frac{\partial \psi}{\partial x}\right) = -q\,\bigl(p - n + C(x)\bigr)

$\varepsilon$ 은 유전율, $q$ 는 기본 전하, $C(x) = N_D - N_A$ 는 고정된 순 도핑입니다.

읽는 법: 알짜 전하가 있는 곳에서 전기장이 휜다. 도핑된 층은 전하가 상쇄되어 전위가 평평하고, 공핍층에서는 전하가 남아 전위가 급격히 휩니다. 밴드 다이어그램에서 보이는 기울기가 바로 이 항의 결과입니다.

전자와 정공 각각에 대해 하나씩입니다.

\frac{1}{q}\frac{\partial J_n}{\partial x} = R - G, \qquad -\frac{1}{q}\frac{\partial J_p}{\partial x} = R - G

읽는 법: 전류가 위치에 따라 변하는 이유는 캐리어가 생기거나( $G$ ) 사라지기( $R$ ) 때문뿐이다. $G$ 는 빛이 만드는 생성률, $R$ 은 재결합률입니다.

부호가 반대인 이유는 정공이 양전하라, 같은 방향의 흐름이 반대 부호의 전류가 되기 때문입니다.

정상상태이므로 시간 미분이 없습니다. 그래서 이 계는 미분대수계가 아니라 순수 경계값 문제입니다.

J_n = q\mu_n n E + qD_n \frac{\partial n}{\partial x}, \qquad J_p = q\mu_p p E - qD_p \frac{\partial p}{\partial x}, \qquad E = -\frac{\partial \psi}{\partial x}

첫 항이 드리프트 — 전기장 $E$ 가 캐리어를 미는 흐름. 두 번째가 확산 — 농도 기울기를 따라 퍼지는 흐름.

두 계수는 독립이 아닙니다. Einstein 관계가 묶습니다.

D = \frac{\mu k_B T}{q} = \mu V_T, \qquad V_T = \frac{k_B T}{q} \approx 25.85\ \text{mV at } 300\ \text{K}

$V_T$ 는 열전압이고, 이 모형 전체에서 반복해 나타나는 자연 전압 단위입니다. 지수의 스케일도, 이상계수의 기준도 전부 $V_T$ 입니다.

평형에서는

np = n_i^2

가 성립합니다. $n_i$ 는 진성 캐리어 밀도이고 온도에 지수적으로 의존합니다.

n_i(T) = n_i(300)\left(\frac{T}{300}\right)^{3/2} \exp\left[\frac{E_g}{2k_B}\left(\frac{1}{300} - \frac{1}{T}\right)\right]

이 지수 때문에 온도가 이 모형에서 가장 강한 손잡이입니다. 저온으로 갈수록 $n_i$ 가 수십 자릿수씩 작아지고, 그만큼 재결합이 줄어 Voc가 올라갑니다. 동시에 캐리어 밀도의 동적 범위가 극단적으로 넓어져 계산이 까다로워집니다 — 정확도와 수렴 참고.

양 끝은 오믹 접촉으로, 두 조건을 동시에 만족시킵니다.

이 둘을 풀면 접촉면의 $n$ , $p$ 가 정해지고, Dirichlet 조건으로 고정됩니다.

여기에 실무적으로 중요한 함정이 하나 있습니다. 다수캐리어는 위 두 식에서 바로 나오지만, 소수캐리어는 두 큰 수의 차로 계산하면 안 됩니다. 넓은 밴드갭에서 $n_i$ 가 작으면 상쇄오차로 값이 통째로 날아갑니다. 반드시

n_{\text{minority}} = \frac{n_i^2}{N_{\text{majority}}}

로 계산해야 합니다.

$R$ 과 $G$ 가 각각 어떻게 모형화되는지는 재결합과 광생성에서 다룹니다.