드리프트-확산 방정식계

학습 목표

van Roosbroeck 방정식계의 세 방정식과 각 방정식이 나타내는 물리적 관계를 이해한다.
드리프트 항과 확산 항의 의미, 두 계수를 연결하는 Einstein 관계를 확인한다.
오믹 접촉에서 소수캐리어 밀도를 $n_i^2/N$ 으로 계산하는 이유를 이해한다.

스튜디오는 반도체 소자 물리의 표준 모형인 van Roosbroeck 방정식계를 푼다. 해석 조건은 1차원, 정상상태, 등온이다.

미지수 세 개

소자 두께 방향의 좌표를 $x$ 라 할 때, 각 위치에서 다음 세 값을 구한다.

기호	의미	단위
$\psi(x)$	정전위	V
$n(x)$	전자 밀도	m⁻³
$p(x)$	정공 밀도	m⁻³

전위는 캐리어의 이동을 결정하고, 캐리어의 전하 분포는 다시 전위를 결정한다. 세 미지수가 서로 영향을 주므로 연립방정식으로 풀어야 한다.

그림 · van Roosbroeck 방정식계의 결합. 전위 ψ의 기울기로 정해지는 전기장은 캐리어의 이동에 영향을 준다(금색). 캐리어 밀도 n, p는 공간전하 항 p − n + C를 통해 포아송 방정식의 우변에 반영된다(회색 점선). 전자와 정공의 연속 방정식은 재결합-생성 항 R − G로도 연결된다. 따라서 세 방정식을 연립해서 풀어야 한다.

1. Poisson 방정식 — 전하와 전위

\frac{\partial}{\partial x}\left(\varepsilon \frac{\partial \psi}{\partial x}\right) = -q\,\bigl(p - n + C(x)\bigr)

$\varepsilon$ 은 유전율, $q$ 는 기본 전하, $C(x) = N_D - N_A$ 는 고정된 순 도핑 농도이다.

이 식은 순전하가 존재하는 곳에서 전기장이 위치에 따라 변함을 나타낸다. 도핑된 층에서 전하가 상쇄되면 전위는 평평하고, 공핍층에서는 남은 전하에 의해 전위가 급격히 변한다. 이 전위 분포가 밴드 다이어그램의 기울기에 반영된다.

2. 연속 방정식 — 캐리어 보존

전자와 정공에 대해 각각 다음 연속 방정식이 성립한다.

\frac{1}{q}\frac{\partial J_n}{\partial x} = R - G, \qquad -\frac{1}{q}\frac{\partial J_p}{\partial x} = R - G

전류의 공간적 변화는 캐리어의 생성과 재결합으로 결정된다. $G$ 는 빛에 의한 생성률, $R$ 은 재결합률이다.

두 식의 부호가 다른 것은 전자와 정공의 전하 부호가 반대이기 때문이다. 같은 방향으로 이동하더라도 전류에 기여하는 부호는 반대이다.

정상상태이므로 시간 미분은 없다. 따라서 이 방정식계는 미분대수계가 아니라 경계값 문제로 푼다.

3. 전류 구성식 — 드리프트와 확산

J_n = q\mu_n n E + qD_n \frac{\partial n}{\partial x}, \qquad J_p = q\mu_p p E - qD_p \frac{\partial p}{\partial x}, \qquad E = -\frac{\partial \psi}{\partial x}

첫 항은 전기장 $E$ 에 의한 드리프트, 두 번째 항은 농도 기울기에 의한 확산을 나타낸다.

이동도와 확산계수는 독립적이지 않으며 Einstein 관계로 연결된다.

D = \frac{\mu k_B T}{q} = \mu V_T, \qquad V_T = \frac{k_B T}{q} \approx 25.85\ \text{mV at } 300\ \text{K}

$V_T$ 는 열전압이다. 이 모형의 지수함수와 이상계수에 나타나는 전압의 기준 척도이다.

그림 · 캐리어의 두 가지 수송 기구. 드리프트는 전기장에 의한 이동이며, 확산은 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 퍼지는 현상이다. 두 현상에 공통으로 관여하는 무작위 충돌 때문에 이동도와 확산계수는 독립적이지 않으며, 아인슈타인 관계 D = μV_T로 연결된다.

소수캐리어 밀도와 질량작용 법칙

평형에서는 다음 관계가 성립한다.

np = n_i^2

$n_i$ 는 진성 캐리어 밀도이며 온도에 지수적으로 의존한다.

n_i(T) = n_i(300)\left(\frac{T}{300}\right)^{3/2} \exp\left[\frac{E_g}{2k_B}\left(\frac{1}{300} - \frac{1}{T}\right)\right]

이 지수항 때문에 온도는 계산 결과에 큰 영향을 준다. 저온에서는 $n_i$ 가 수십 자릿수씩 작아지고 재결합이 줄어 Voc가 높아진다. 동시에 캐리어 밀도가 매우 넓은 범위에 분포하므로 수치 계산이 어려워진다. 관련 내용은 정확도와 수렴에서 다룬다.

경계조건 — 오믹 접촉

양 끝의 오믹 접촉에서는 다음 두 조건을 동시에 만족시킨다.

전기적 중성: $p - n + C = 0$
평형: $np = n_i^2$

두 조건에서 접촉면의 $n$ , $p$ 를 구하고 Dirichlet 경계조건으로 고정한다.

다수캐리어 밀도는 두 식에서 직접 구할 수 있지만, 소수캐리어 밀도를 두 큰 수의 차로 계산하면 상쇄오차가 발생할 수 있다. 특히 밴드갭이 넓어 $n_i$ 가 작은 경우에는 유효숫자를 잃기 쉽다. 이를 피하려면 다음 식을 사용해야 한다.

n_{\text{minority}} = \frac{n_i^2}{N_{\text{majority}}}

물리량과 스튜디오 입력의 대응

기호	스튜디오 입력	위치
$E_g$	층별 `Eg`	층 구조 편집
$\chi$ (전자친화도)	층별 `χ`	층 구조 편집
$C(x)$	층별 `도핑`	층 구조 편집
$\mu_n, \mu_p$	프리셋 물성	프리셋 파일
$\tau$ (수명)	층별 `τ`	층 구조 편집
$\alpha$ (흡수계수)	층별 `α`	층 구조 편집
$T$	`온도`	조건 입력
입사 광량	`일사량`	조건 입력

$R$ 과 $G$ 의 모형은 각각 재결합과 광생성에서 설명한다.