계면을 미소 교류 전류가 흐르는 두 병렬 경로로 봅니다: 전하전달저항 $R_\mathrm{ct}$짜리 패러데이 가지와 이중층을 충전하는 커패시턴스 가지 $C_\mathrm{dl}$. 이 패러데이 가지의 저항은 자유 매개변수가 아니라, 전류-과전압 법칙의 영점 바이어스 기울기이며, 이를 먼저 증명합니다.

$R_\mathrm{ct}$이 정해지면 두 가지가 교류 전류를 병렬로 나르므로 어드미턴스가 더해지고($j=\sqrt{-1}$),

$Z(\omega) = \left(\frac{1}{R_\mathrm{ct}} + j\omega C_\mathrm{dl}\right)^{-1} = \frac{R_\mathrm{ct}}{1 + j\omega R_\mathrm{ct}C_\mathrm{dl}}$

$\tau = R_\mathrm{ct}C_\mathrm{dl}$로 두고 켤레복소수를 곱해 실부와 허부로 나누면:

$Z' = \frac{R_\mathrm{ct}}{1+(\omega\tau)^2}, \qquad -Z'' = \frac{R_\mathrm{ct}\,\omega\tau}{1+(\omega\tau)^2}$

둘에서 $\omega$를 소거하면 짧은 대수로

$\left(Z' - \tfrac{R_\mathrm{ct}}{2}\right)^2 + (Z'')^2 = \left(\tfrac{R_\mathrm{ct}}{2}\right)^2$

즉 중심 $(R_\mathrm{ct}/2,\,0)$, 반지름 $R_\mathrm{ct}/2$인 원, 곧 Nyquist 반원입니다. 지름은 정확히 $R_\mathrm{ct}$이고 꼭대기는 $\omega = 1/(R_\mathrm{ct}C_\mathrm{dl})$에 있어서, 호의 폭은 동역학을, 꼭대기 주파수는 이중층을 읽어냅니다. ∎

저주파에서는 전류가 표면으로 오는 반응물의 확산에 막힙니다. 농도를 $c(x,t) = c_0 + \Delta c(x)\,e^{j\omega t}$로 섭동해 Fick 제2법칙에 넣으면, 시간미분이 $j\omega$를 끌어내리고 $x$에 대한 상미분방정식만 남습니다:

$j\omega\,\Delta c = D\frac{d^2 \Delta c}{dx^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2\Delta c}{dx^2} = \frac{j\omega}{D}\,\Delta c$

반무한 전극 안으로 감쇠하는 해는

$\Delta c(x) = \Delta c(0)\,\exp\!\left(-\sqrt{\tfrac{j\omega}{D}}\;x\right)$

표면 교류 플럭스는 Fick 제1법칙에서 $\tilde{N} = -D\,\Delta c'(0) = \sqrt{j\omega D}\;\Delta c(0)$이고, 전류는 $\tilde{I}\propto\tilde{N}$입니다. 표면 전위가 표면 농도에 실수 계수 $\partial E/\partial c$로 반응하므로, 임피던스 $Z_W = \tilde{E}/\tilde{I}$는 그 주파수 의존성을 물려받습니다:

$Z_W \propto \frac{1}{\sqrt{j\omega}} = \frac{1}{\sqrt{\omega}}\,e^{-j\pi/4} = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}\,(1 - j)$

실부와 허부가 모든 주파수에서 같으므로, Nyquist 평면에서 Warburg 임피던스는 $45^\circ$ 직선을 그립니다. 저항성과 용량성의 정확히 중간에 기운 확산의 지문입니다. ∎